Vers l'infini et au delà

Dans l'épisode "Raging Bender", le staff de Planet Express se rend au cinéma et hésite entre quelques films.

Cependant, d'après l'enseigne du cinéma, ce cinéma possède ℵ₀ salles. Mais à quoi correspond ce symbole?

ℵ₀, d'après la première lettre de l'alphabet hébreu aleph, représente le cardinal (c'est à dire le nombre d'éléments) de l'ensemble des entiers naturels noté ℕ: {0, 1, 2, ...}. ℵ₀ représente donc une valeur infinie. Cela représente déjà beaucoup de salles de cinéma, mais il existe plus grand, et même infiniment plus grand.

En effet, il existe des ensembles dont les éléments ne peuvent pas être dénombrés grâce aux entiers naturels, par exemple l'ensemble des nombres réels : à chaque nombre réel, on ne peut pas associer un entier naturel qui ne serait associé à aucun autre nombre réel (voir la démonstration en annexe à télécharger). L'ensemble des nombres réels, noté ℝ, contient donc plus d'éléments que ℕ, bien que ces deux ensembles contiennent chacun une infinité d'éléments. Le cardinal de ℝ est noté ℵ₁. Un autre ensemble possède le même cardinal : l'ensemble des parties de ℕ (exemple de parties de l'ensemble des entiers naturels : {0},{1,2,3},les entiers divisibles par 32768...}.

De la même façon, le cardinal de l'ensemble des parties de ℝ est supérieur au cardinal de ℝ, et on le note ℵ₂. On peut continuer ainsi et définie ℵ₃, ℵ₄, ℵ₅...

Et finalement, ℵ₀ est un infini plutôt petit...

Pour en savoir plus :

*Article de Wikipedia sur les aleph

*Démonstration : ℝ contient plus d'éléments que ℕ