Solution : Questions à la chaîne

Voici les solutions aux énigmes de la semaine dernière.

Soit a et b tels que a=b

a*a=a*b

a*a-b*b=a*b-b*b

a*a-b*b+a*b-a*b=b*(a-b)

a*(a-b)+b*(a-b)=b*(a-b)

(a+b)*(a-b)=b*(a-b)

a+b=b

Posons a=b=1. Alors 1+1=1, c'est à dire 1=2. Mais où est donc l'erreur?

L'erreur se produit entre les lignes 5 et 6. On divise par (a-b), or a=b donc a-b=0. Il est interdit de diviser par 0!

Je désire lancer une balle contre un mur situé à 2 mètres. La balle parcourt donc la moitié de la distance, 1 mètre, puis la moitié de la distance qu'il reste, 50 cm, puis 25 cm, 12,5 cm, et ainsi de suite à l'infini. Comment la balle arrive-t-elle à toucher le mur?

Faisons la somme de toutes les distances parcourues par la balle : posons S=1+1/2+1/4+1/8... à l'infini. On peut aussi écrire S=1+1/2*(1+1/2+1/4+...). Donc S=1+1/2*S, on arrive donc à S=2, la balle touche donc bien le mur. La somme d'une infinité de nombres peut donc aboutir à un nombre fini!

  Multipliez le nombre 052631578947368421 par tous les entiers entre 2 et 18. Quel est la particularité de ces nombres?

052631578947368421*2=105263157894736842

052631578947368421*3=210526315789473684

052631578947368421*4=421052631578947368

052631578947368421*5=842105263157894736

052631578947368421*6=684210526315789473

  On peut voir ce qui se passe : les résultats des multiplications sont composés des mêmes chiffres, dans le même ordre, seul le nombre duquel on part change. Les nombres qui présentent cette particularité sont appelés des nombres phénix : tel l'oiseau, ce nombre renaît de ces cendres. Et que se passe-t-il si on multiplie ce nombre par 19? On obtient 999.999.999.999.999.999, soit un nombre composé de 18 neufs. On peut obtenir d'autres nombres phénix de cette façon. A vous de chercher!